Сколько человек на самом деле участвовало в опросе? | Последовательность Фарея

В заголовке говорится, что 72,7% опрошенных ответили «да». Сколько же людей это может быть, по крайней мере? Не тысяча, не сто: всего 11, потому что 8 из 11 — это 72,727…%. Найти это число — удивительно сложная задача: имея узкий диапазон десятичных знаков, нужно найти дробь с наименьшим знаменателем внутри неё. Ответ кроется в «неправильном» способе сложения дробей (складывать числители, складывать знаменатели: медиана) и в любопытном списке дробей, о котором писал геолог Джон Фэри в 1816 году. Следуя этой идее, мы переходим к следующим вопросам: • почему соседние дроби Фэри a/b и c/d всегда удовлетворяют условию bc − ad = 1, доказанному с помощью изображения точек сетки; • обходу медиан, который приводит к простейшей дроби, и почему он никогда не может её пропустить; • почему 38,2% приводит к числам Фибоначчи, и почему для 99,9% требуется как минимум 667 человек; • кругам Форда: один круг на каждую дробь, и никакие два круга никогда не перекрываются; • дереву Штерна-Броко, которое содержит каждую положительную дробь ровно один раз; • лучшим дробям для π, и почему ничто не превосходит 355/113 Цзу Чунчжи до 52163/16604; • 6/π² ≈ 61% вероятность того, что два целых числа не имеют общего множителя • как расположение дробей Фарея связано с гипотезой Римана Главы 0:00 Сколько человек участвовало в опросе? 1:29 Проблема 3:38 Любопытное свойство Фарея 6:53 Дроби как точки 10:19 Путь к ответу 13:38 Круги Форда 16:19 Дерево каждой дроби 20:04 Сколько дробей? 22:40 Вопрос на миллион долларов 24:51 Эпилог Попробуйте сами: опрос показывает 33,3%. Это может быть всего 3 человека (1 из 3). Измените одну цифру на 33,4%, и наименьшее возможное количество участников опроса составит 287 человек. Каждое утверждение в видео доказано или сослано на свой источник, и каждое число на экране было пересчитано компьютером. Значения расхождения Фарея в главе «вопрос на миллион долларов» представляют собой вычисленные данные, а не теорему: гипотеза Римана до сих пор остается открытой. Источники и дополнительная литература • Дж. Фарей, «О любопытном свойстве обычных дробей», Philosophical Magazine 47 (1816) • А.-Л. Коши, «Démonstration d'un théorème curieux sur les nombres» (1816) • К. Харос, таблицы для преобразования десятичных дробей в простейшие обычные дроби, Journal de l'École Polytechnique 4 (1802) • М. А. Штерн, Journal für die reine und angewandte Mathematik 55 (1858); А. Броко, «Хронометрический обзор» 3 (1861) • Л. Р. Форд, «Дроби», «Американский математический ежемесячник» 45 (1938) • Дж. Франель и Э. Ландау, «Новости общества наук Гёттингена» (1924) • Н. Браун и Дж. Хизерс, «Тест GRIM», «Социальная психология и наука о личности» (2017) • Р. Грэм, Д. Кнут, О. Паташник, «Конкретная математика», §4.5 • Г. Х. Харди и Э. М. Райт, «Введение в теорию чисел», гл. III Анимация создана с помощью Manim Community Edition. Озвучка: синтезированный голос (Microsoft neural text-to-speech). Музыка и звуковые эффекты синтезированы для этого видео. #математика #последовательностьФейри #теориячисел