10 OBMEP 2011 2ª Fase -Nível 03 - 7ª Edição - Geometria - Questão 06 - Projeto Olímpico - OBMEP 2022

Questão 06 OBMEP 2011 2ª Fase -Nível 03 - 7ª Edição - Geometria - Projeto Olímpico - OBMEP 2022 Em todas as figuras desta questão, vemos um triângulo 𝑨𝑩𝑪 dividido em quatro partes; nesses triângulos, 𝑫 é ponto médio de 𝑨𝑩, 𝑬 é ponto médio de 𝑨𝑪 e 𝑭𝑮 mede 𝟏/𝟐 𝑩𝑪. A) Os quadriláteros 𝑫𝑱𝑴𝑨 e 𝑬𝑳𝑵𝑨 são obtidos girando de 𝟏𝟖𝟎° os quadriláteros 𝑫𝑯𝑭𝑩 e 𝑬𝑰𝑮𝑪 em torno de 𝑫 e 𝑬, respectivamente. Explique por que os pontos 𝑴, 𝑨 e 𝑵 estão alinhados, ou seja, por que a medida do ângulo 𝑴𝑨𝑵 é igual a 𝟏𝟖𝟎°. B) Na figura, o ponto 𝑲 é a interseção das retas 𝑱𝑴 e 𝑳𝑵. Explique por que os triângulos 𝑭𝑮𝑰 e 𝑴𝑵𝑲 são congruentes. Os itens acima mostram que 𝑯𝑱𝑲𝑳 é um retângulo formado com as quatro partes em que o triângulo 𝑨𝑩𝑪 foi dividido. C) Mostre que 𝑳𝑯=𝑬𝑭. D) Na figura o triângulo 𝑨𝑩𝑪 tem área 𝟗 e 𝑯𝑱𝑲𝑳 é um quadrado. Calcule o comprimento de 𝑬𝑭.