TD Applications linéaires : étude d'une application linéaire dans l'espace des polynômes

Dans cet exercice, on va montrer qu'une application, définie sur ℝ₃[X], est linéaire, puis on va déterminer son noyau, son rang et son image. Enfin, on démontrera que son noyau et son image sont supplémentaires. Attention, de façon générale, le noyau et l’image d’un endomorphisme ne sont pas supplémentaires. Le théorème du rang donne une égalité sur les dimensions pas plus. Pour la question 5, on aurait pu faire différemment : Considérer P dans Im(u) et P dans Ker(u). Écrire P comme une combinaison linéaire de la base trouvée de Im(u) et écrire P comme P=α(1-X). Puis écrire l'égalité qu'on obtient, tout développer et identifier.