CÁLCULO I | Unidade 3 | 3.3. Funções Crescentes e Decrescentes (DARK)

Aula sobre a Seção 3.3 de Cálculo I, da Unidade 3 (Aplicações das Derivadas): o sinal da derivada e o crescimento e o decrescimento de uma função. Com figuras animadas, vemos a curva sendo percorrida ramo a ramo, com os pontos em que o sinal da derivada muda marcados em laranja. A aula segue em ordem: o sinal da derivada, em que f′ positiva num intervalo dá f estritamente crescente, f′ negativa dá f estritamente decrescente e f′ nula dá f constante (exemplos x³ − 3x e x/(x² + 1)); o roteiro de estudo do sinal de f′ — domínio, derivada, pontos críticos e sinal em cada intervalo — com a tabela de sinais (exemplos x·e⁻ˣ e x⁴ − 4x³, em que a derivada se anula sem mudar de sinal); a prova de desigualdades por monotonicidade (exemplos eˣ maior ou igual a 1 + x e sen x menor que x, para x positivo); e a injetividade: uma função estritamente monótona é injetiva e, portanto, tem inversa (exemplos y⁵ + y e x − sen x, cuja derivada se anula em infinitos pontos isolados). Cada tópico com dois exemplos resolvidos. No aprofundamento, demonstramos com rigor que, se f é contínua em um intervalo I, derivável no interior e f′ é positiva no interior, então f é estritamente crescente em I, usando o teorema do valor médio da seção 3.1. Fechamos com uma curiosidade histórica sobre Karl Weierstrass, que em 1872 apresentou uma função contínua em toda a reta e sem derivada em nenhum ponto — o que Hermite chamou de praga lamentável —, ao contrário das funções monótonas desta aula, que são deriváveis quase sempre (teorema de Lebesgue, de 1904); Weierstrass foi professor de escola por cerca de quinze anos antes de virar professor universitário. ⏱️ Partes deste vídeo: 0:00 Abertura 0:15 Tópico A — O sinal da derivada 2:11 Tópico B — O estudo do sinal 3:53 Tópico C — Desigualdades por monotonicidade 5:18 Tópico D — Injetividade e inversas 6:50 Aprofundamento Teórico — demonstração do critério de crescimento 8:12 Curiosidade histórica — Karl Weierstrass 9:12 Encerramento Gostou das funções crescentes e decrescentes? Se você está estudando Cálculo I, se inscreva no canal e ative o sininho para não perder os próximos vídeos da série — a próxima seção, 3.4, é sobre máximos e mínimos.   / hist.math   #matematica #math #mathematics #calculo #calculus #calculo1 #derivadas #funcoescrescentes #weierstrass #histmath