CÁLCULO I | Unidade 3 | 3.4. Máximos e Mínimos (DARK)

Aula sobre a Seção 3.4 de Cálculo I, da Unidade 3 (Aplicações das Derivadas): os máximos e mínimos de uma função e como encontrá-los com a derivada. Com figuras animadas, vemos um ponto percorrer as curvas, com a tangente horizontal em cada extremo, uma tabela de sinais em todos os exemplos e a caixa de volume máximo desenhada a partir da folha de 12 cm. A aula segue em ordem: as definições de máximo e mínimo locais e absolutos, o teorema de Fermat (num ponto interior que é extremo local e em que a função é derivável, f′ é zero) e os pontos críticos, em que f′ é zero ou não existe (exemplos x⁴ − 2x² e x³, em que f′(0) = 0 mas 0 não é extremo); o teste da primeira derivada, que classifica o ponto crítico pela mudança de sinal de f′ (exemplos x + 1/x, com tabela de sinais, e x^(2/3), em que a derivada não existe e há um mínimo); o teste da segunda derivada, pelo sinal de f″ (exemplos x³ − 6x² + 9x e x⁴, em que o teste não decide); e os extremos absolutos num intervalo fechado, comparando os valores nos pontos críticos e nas extremidades (exemplos x − 2 sen x em [0, 2π] e a caixa de volume máximo feita com uma folha quadrada de 12 cm). Cada tópico com dois exemplos resolvidos. No aprofundamento, demonstramos com rigor o teste da derivada segunda: se f′(c) é zero e f″(c) é positiva, então f tem um mínimo local em c, usando o sinal do quociente f′(x)/(x − c) e a seção 3.3. Fechamos com uma curiosidade histórica sobre Pierre de Fermat, que em 1662 propôs que a luz segue o caminho de menor tempo e usou o seu método de máximos e mínimos para deduzir a lei de Snell; o método já circulava em cartas desde 1636, antes do cálculo de derivadas, e Fermat, conselheiro do Parlamento de Toulouse, tinha a matemática como passatempo — o seu último teorema, anotado na margem de um livro por volta de 1637, só foi demonstrado por Andrew Wiles em 1995, e as suas cartas com Pascal, em 1654, deram origem à teoria das probabilidades. ⏱️ Partes deste vídeo: 0:00 Abertura 0:14 Tópico A — Extremos locais, teorema de Fermat e pontos críticos 2:30 Tópico B — O teste da primeira derivada 4:15 Tópico C — O teste da segunda derivada 5:56 Tópico D — Extremos absolutos em intervalos fechados 8:07 Aprofundamento Teórico — demonstração do teste da segunda derivada 9:25 Curiosidade histórica — Pierre de Fermat 10:26 Encerramento Gostou dos máximos e mínimos? Se você está estudando Cálculo I, se inscreva no canal e ative o sininho para não perder os próximos vídeos da série — a próxima seção, 3.5, é sobre taxas relacionadas.   / hist.math   #matematica #math #mathematics #calculo #calculus #calculo1 #derivadas #maximosminimos #fermat #histmath