Composition de fonctions : calculer f∘g et g∘f – Exercice corrigé | Licence 1 / Prépa Maths

lien site https://puissance-maths.fr/postbac-1e... 🎓 *LICENCE 1 / PRÉPA – APPLICATIONS : COMPOSITION DE FONCTIONS* Dans cette vidéo, nous allons travailler sur **la composition de deux fonctions**, une notion fondamentale du chapitre sur les applications en première année d'études supérieures. À travers un exercice complet, nous allons apprendre à déterminer les ensembles de définition des fonctions composées, à effectuer les calculs et à comprendre le lien avec les **applications réciproques**. 📌 *L'EXERCICE* On considère les deux fonctions : f : ℝ → ℝ, définie par : f(x) = √(x² + 1) − x et g : ℝ* → ℝ, définie par : g(x) = (1 − x²)/(2x) 🎯 *OBJECTIFS DE L'EXERCICE* 1️⃣ Montrer que f(x) supérieur à 0 pour tout réel x. 2️⃣ Justifier que f ∘ g est définie sur ℝ₊* et calculer cette composée. 3️⃣ Justifier que g ∘ f est définie sur ℝ et la calculer. 4️⃣ Interpréter les résultats obtenus et en tirer une conclusion sur les deux fonctions. 🔍 *AU PROGRAMME DE CETTE VIDÉO :* ✅ Comprendre la définition d'une fonction composée. ✅ Distinguer f ∘ g et g ∘ f : attention à l'ordre de composition ! ✅ Déterminer rigoureusement les ensembles de définition. ✅ Démontrer la stricte positivité d'une expression contenant une racine carrée. ✅ Simplifier des expressions algébriques avec des racines et des fractions. ✅ Mettre en évidence les identités obtenues par composition. ✅ Comprendre le lien entre composition, bijectivité et fonction réciproque. ✅ Rédiger une démonstration complète et rigoureuse, comme attendu en Licence 1 ou en classe préparatoire. 💡 *CE QU'IL FAUT RETENIR* Pour deux applications f : E → F et g : F → G, la composée g ∘ f est définie par : (g ∘ f)(x) = g(f(x)) ⚠️ *Attention :* la composition n'est pas commutative en général ! f ∘ g ≠ g ∘ f Lorsque deux compositions donnent les applications identités sur les ensembles appropriés, on peut établir que les applications sont bijectives et réciproques l'une de l'autre. Cet exercice permet donc de faire le lien entre plusieurs notions essentielles du chapitre sur les applications. 📚 *NIVEAU :* Licence 1 – CPGE scientifiques (MPSI, PCSI, PTSI, MP2I) – Première année d'études supérieures. 📖 *CHAPITRE :* Ensembles et applications – Composition et bijectivité. 👍 Si cette vidéo vous aide à progresser, pensez à laisser un pouce bleu, à vous abonner et à partager la vidéo ! 🔔 Abonnez-vous à *Hans Amble – Maths au Lycée* pour retrouver de nombreux exercices corrigés, des démonstrations détaillées et des méthodes essentielles pour réussir en mathématiques. #CompositionDeFonctions #Applications #FonctionRéciproque #Bijectivité #Licence1 #PrépaMaths #CPGE #PCSI #MPSI #Mathématiques #ExerciceCorrigé #HansAmble