Fonction définie par morceaux : injectivité, surjectivité et bijection | Licence 1 / Prépa Maths

lien site https://puissance-maths.fr/postbac-1e... 🎓 *LICENCE 1 / PRÉPA – ENSEMBLES ET APPLICATIONS : FONCTION DÉFINIE PAR MORCEAUX* Dans cette vidéo, nous allons étudier une *fonction définie par morceaux* à travers un exercice classique du chapitre sur les ensembles et les applications. L'objectif est de comprendre comment exploiter une représentation graphique pour déterminer des ensembles images, rechercher des antécédents et étudier les propriétés d'injectivité, de surjectivité et de bijectivité. Un exercice particulièrement intéressant pour apprendre à raisonner sur les applications et à bien distinguer les notions d'image, d'image réciproque et de fonction réciproque. 📌 *L'EXERCICE* On considère l'application f : ℝ → ℝ définie par : f(x) = x² si x est strictement inférieur à 3. f(x) = 2 − x si x est supérieur ou égal à 3. 🎯 *OBJECTIFS DE L'EXERCICE* 1️⃣ Tracer la courbe représentative de f dans un repère. 2️⃣ Déterminer les ensembles images : • f(]−∞ ; 0]) • f([0 ; +∞[) 3️⃣ Déterminer l'image réciproque : • f⁻¹([0 ; 1]) 4️⃣ Étudier l'injectivité et la surjectivité de l'application f : ℝ → ℝ. 5️⃣ Déterminer des intervalles sur lesquels une restriction de f réalise une bijection. 🔍 *AU PROGRAMME DE CETTE VIDÉO :* ✅ Comprendre le fonctionnement d'une fonction définie par morceaux. ✅ Tracer correctement une courbe en tenant compte des conditions sur x. ✅ Distinguer les bornes incluses et exclues. ✅ Déterminer graphiquement l'image d'un intervalle. ✅ Rechercher tous les antécédents des éléments d'un intervalle. ✅ Comprendre la notation f⁻¹(A), qui désigne l'ensemble des antécédents des éléments de A. ✅ Étudier l'injectivité d'une application à partir de sa représentation graphique. ✅ Étudier la surjectivité en tenant compte de l'ensemble d'arrivée. ✅ Comprendre comment une restriction à un intervalle peut permettre d'obtenir une bijection. ✅ Rédiger des justifications rigoureuses, comme attendu en Licence 1 ou en classe préparatoire. 💡 *CE QU'IL FAUT RETENIR* *1. L'image d'un ensemble* Pour une application f : E → F et une partie A de E, l'image f(A) est l'ensemble des valeurs prises par f lorsque x parcourt A. *2. L'image réciproque d'un ensemble* Pour une partie B de F, l'ensemble f⁻¹(B) contient tous les éléments x de E dont l'image appartient à B. ⚠️ Attention : la notation f⁻¹(B) est définie même lorsque f n'est pas bijective ! Il ne faut donc pas confondre l'image réciproque d'un ensemble avec une application réciproque. *3. L'injectivité* Une application est injective lorsque deux éléments distincts de l'ensemble de départ ne peuvent pas avoir la même image. *4. La surjectivité* Une application est surjective lorsque chaque élément de l'ensemble d'arrivée possède au moins un antécédent. *5. La bijectivité* Une application est bijective lorsque chaque élément de l'ensemble d'arrivée possède un unique antécédent. En choisissant convenablement un ensemble de départ plus petit et un ensemble d'arrivée adapté, on peut parfois obtenir une bijection à partir d'une application qui ne l'est pas initialement. 📚 *NIVEAU :* Licence 1 – CPGE scientifiques (MPSI, PCSI, PTSI, MP2I) – Première année d'études supérieures. 📖 *CHAPITRE :* Ensembles et applications – Images, images réciproques, injectivité, surjectivité et bijectivité. 🎯 *OBJECTIF :* maîtriser les raisonnements fondamentaux sur les applications et apprendre à exploiter rigoureusement une représentation graphique. 👍 Si cette vidéo vous aide à progresser, pensez à laisser un pouce bleu, à vous abonner et à partager la vidéo ! 🔔 *ABONNEZ-VOUS À HANS AMBLE – MATHS en licence et prépa!* Retrouvez de nombreux exercices corrigés, des démonstrations détaillées et des méthodes essentielles pour réussir en mathématiques au lycée, en Licence et en classe préparatoire. #EnsemblesEtApplications #FonctionsParMorceaux #Injectivité #Surjectivité #Bijectivité #ImageRéciproque #Licence1 #PrépaMaths #CPGE #PCSI #MPSI #Mathématiques #ExerciceCorrigé #HansAmble