Наклонные сетки всё ещё сетки — и поворот на 60° может привести к целым числам

0:00 The problem — a rotation that lands on integers 0:58 The idea — a linear combination is a coordinate system 1:46 Building the rule 4:44 A circle drawn in mid-air 6:57 Rotation about a slanted axis 9:56 How far does it reach? 10:59 The one move Вращайте точку (3, 2, 1) вокруг линии, проходящей через начало координат в направлении (1, 1, 1) — ровно на шестьдесят градусов. Это звучит как работа для матриц вращения и страницы тригонометрии. Два ответа: (3, 1, 2) и (2, 3, 1). Целые числа. Перестановка исходной точки. Этот эпизод посвящен единственной идее, которая делает такой расчет рутинным и коротким. Идея: запись точки как s·a + t·b — это не просто алгебра, это размещение точки с координатами (s, t) на сетке, которую образуют векторы a и b, даже если эта сетка наклонена. Области становятся простыми: сначала нарисуйте их на обычной миллиметровой бумаге, затем перенесите; каждая площадь просто умножается на площадь параллелограмма, который охватывают оси. А когда две оси имеют одинаковую длину и встречаются под прямым углом, сетка является настоящей миллиметровой бумагой — поэтому точка cos θ · a + sin θ · b — это в точности a, повернутая на θ. Вращение без какой-либо матрицы. Это одно действие рисует круг в воздухе — на наклонной плоскости, проходящей через начало координат в пространстве — и находит самую высокую точку круга с помощью неравенства Коши-Буняковского. Затем оно решает исходную задачу: опустите перпендикуляр из точки на ось, постройте равновеликого перпендикулярного партнера внутри плоскости вращения и считайте точки, соответствующие повороту на шестьдесят градусов. Каждая координата — целое число, каждый шаг — строка арифметических вычислений. Все координаты и параметры — действительные числа; каждое показанное вращение было независимо проверено по формуле вращения Родригеса.