【灘高数学】重み付き目のサイコロで三角形成立を判定するテクニック【灘高入試】

■ 問題 灘高 2021年度（変則サイコロ） サイコロの目は 1, 1, 2, 3, 4, 5（1が2面ある）である。 このサイコロを3回同時に投げ、出た目を順に x, y, z とする。 x, y, z を3辺とする二等辺三角形（ただし正三角形は除く）がかける確率を求めよ。 ■ ポイント（解法の方針） ・サイコロは面ごとに等確率なので、値ごとの出現確率は p(1) = 2/6 = 1/3, p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=1/6。 ・順に x,y,z をとるので、各順列は独立で確率は p(x)p(y)p(z)。 ・求めるのは「ちょうど2つの目が等しい（＝正三角形を除く）かつ三角形成立（最大辺 ＜ 残り2辺の和）」となる確率。 ・「ちょうど2つ等しい」は、等しい値を a、異なる値を b と置くと、位置の並び方は 3 通り（aa b, a b a, b a a）。 ・よって確率は 3 × sum_{a≠b, b ＜ 2a} p(a)^2 × p(b) で求められる。 ■ 途中式 確率の要素： p(1) = 1/3 p(2) = p(3) = p(4) = p(5) = 1/6 「ちょうど2つ等しい」かつ三角形成立の条件： 等しい値を a、異なる値を b（a ≠ b）として、三角形成立は b ＜ 2a 総確率 = 3 × Σ_{a≠b, b＜2a} [ p(a)^2 × p(b) ] a = 1: 2a = 2 → b ＜ 2 ⇒ b = 1 only, だが b ≠ a なので該当なし a = 2: 2a = 4 → b ∈ {1,2,3}, 除く b=2 → b = 1,3 sum_b p(b) = p(1)+p(3) = 1/3 + 1/6 = 1/2 貢献 = 3 × p(2)^2 × (1/2) = 3 × (1/6)^2 × (1/2) = 3 × 1/36 × 1/2 = 1/24 a = 3: 2a = 6 → b ∈ {1,2,3,4,5} 除く b=3 → b = 1,2,4,5 sum_b p(b) = p(1)+p(2)+p(4)+p(5) = 1/3 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6 貢献 = 3 × (1/6)^2 × (5/6) = 3 × 1/36 × 5/6 = 5/72 a = 4: 同様に sum_b = 5/6 貢献 = 5/72 a = 5: 同様に sum_b = 5/6 貢献 = 5/72 合計確率 = 1/24 + 5/72 + 5/72 + 5/72 通分して計算： 1/24 = 3/72 合計 = (3 + 5 + 5 + 5) / 72 = 18 / 72 = 1 / 4 ■ 答え 確率 = 1/4 （小数で表すと 0.25、全216通りの面の組み合わせで考えると確率は54/216 = 1/4 と一致します） ■ 考え方メモ ・「値の出現確率が等しくない」サイコロでは、値ごとの確率 p(v) をまず明確にすることが重要。面の数から直接 p(v) を求めるのが早い。 ・順序ありの試行では、等しい値が2つだけ出る場合、配置は必ず3通りになる（位置の組合せ）。そのため係数 3 を忘れない。 ・三角形の成立条件は「最大辺 ＜ 他の2辺の和」。等しい値 a と異なる b の場合は b ＜ 2a の判定で十分。 ・正三角形（a=a=a）は本問では除外するので、a=a=a の場合は除く。 ・最終的に 1/4 というきれいな分数になる良問で、入試・授業で確率と図形条件を組み合わせて説明するのに適しています。 🔗 関連動画・おすすめリンク 【中学受験 算数の計算問題解説シリーズ】 ▶    • 灘中入試問題 2005年度1日目｜素因数分解で分数の計算問題   【中学受験 整数の性質の練習問題】 ▶    • 【魔方陣の攻略法】真ん中の数の見つけ方！公務員試験＆中学受験の数的処理対策｜算数過去...   【開成中学入試問題・過去問解説シリーズ】 ▶    • 【開成中学の算数】単位分数の和と整数問題を徹底解説！2010年度過去問に挑戦｜中学受験算数   【灘中学入試問題・過去問解説シリーズ】 ▶    • 灘中入試問題 2005年度1日目｜素因数分解で分数の計算問題   📢 視聴者へのお願い この動画が役に立ったと思ったら、ぜひ「いいね」や「コメント」で教えてください！ 「こんな問題も解説してほしい！」というリクエストも大歓迎です。 📌 このチャンネルについて 当チャンネルでは、算数・数学を楽しく学びながら、受験に必要な実力を着実に伸ばす方法をお届けします。 「考える力を鍛えたい」「苦手を克服したい」皆さんを全力で応援しています！ 📩 お仕事依頼・お問い合わせ 取材・お仕事のご相談はこちらまで： 📧 nadatodai55+work@gmail.com #中学受験 #受験算数 #数学