Terminale Option Maths Expertes - Démonstration - Nombres Complexes (définition, opérations...)

Dans cette vidéo, je vous propose la démonstration de deux propriétés utiles sur les modules d'un nombre complexe : le module d'un produit, et le module d'un nombre complexe à la puissance n. La première démonstration s'articule autour d'un raisonnement classique qui consiste à prouver une égalité en effectuant des simplifications sur les expressions se trouvant de part et d'autre de l'égalité, dans l'objectif d'en obtenir une forme simplifiée commune, prouvant ainsi l'égalité en conclusion. Outre l'égalité, je vous conseille d'apprendre la méthode utilisée pour prouver une égalité en respectant la logique nécessaire à cela. La deuxième démonstration s'appuie sur un raisonnement par récurrence classique, et se présente en trois étapes : l'initialisation (la preuve de la propriété au premier rang pour lequel la propriété doit être prouvé), l'hérédité (la preuve qu'en supposant vrai la propriété vraie pour un rang n fixé, cela implique que la propriété est vraie au rang d'après, le rang n+1), puis *la conclusion*. Pour mener à bien le raisonnement par récurrence, je vous conseille d'écrire au brouillon la propriété Pn que vous souhaitez démontrer, d'en extraire ainsi l'hypothèse de récurrence qui vous sera utile dans l'étape de l'hérédité. Toujours au brouillon, je vous recommande d'écrire explicitement la propriété Pn+1, c'est-à-dire la propriété au rang d'après (le rang n+1). Ainsi, vous pourrez trouver plus facilement un moyen de vous "débloquer" en cas de difficulté dans la partie de l'étape de l'hérédité, qui peut s'avérer être la source d'une grande confusion. Sommaire de la vidéo: 00:02 - Lecture du programme de la vidéo, introduction et notations utiles pour la démonstration. 02:20 - Démonstration n°1 : Module d'un produit. (Démonstration au programme) 14:49 - Démonstration n°2 : Module d'un nombre complexe à la puissance n, par un raisonnement par récurrence (Démonstration au programme) Contenu de cours extrait du Bulletin Officiel de l'Éducation Nationale du Programme d'enseignement optionnel de mathématiques expertes de terminale générale https://eduscol.education.gouv.fr/sit... Thème - Les Nombres Complexes: Chapitre 2 - Nombres complexes - point de vue géométrique. Contenus: -Module d'un nombre complexe. Interprétation géométrique. -Relation │z│2 = z z. Module d’un produit, d’un inverse. Capacités attendues: -Déterminer le module et les arguments d'un nombre complexe. Démonstrations: -Formule │z│2 = z z . Module d’un produit. Module d’une puissance. (*Démonstration au programme de cette vidéo*). Problèmes possibles: -Inégalité triangulaire pour deux nombres complexes ; cas d'égalité. ©[Jordan Liebert] via https://www.canva.com;