Endomorphismes d'un espace euclidien | Prépa MP, MP*, MPI

Pourquoi une matrice symétrique réelle est-elle toujours diagonalisable, et dans une base orthonormée ? Ce cours complet présente les endomorphismes d'un espace euclidien : adjoint et théorème de représentation de Riesz, noyau et image de l'adjoint, matrices orthogonales, groupes O(n) et SO(n), endomorphismes autoadjoints et projecteurs orthogonaux, théorème spectral, autoadjoints positifs et quotient de Rayleigh, isométries vectorielles et réduction des isométries, avec l'axe et l'angle d'une rotation de l'espace. Objectif : savoir diagonaliser une matrice symétrique en base orthonormée, reconnaître et réduire une isométrie, et répondre aux questions classiques de colle et d'oral. Au programme : 00:00 Le produit scalaire change tout 04:39 L'adjoint d'un endomorphisme 09:13 Noyau, image et stabilité 14:36 Matrices orthogonales 19:21 Autoadjoints et projecteurs orthogonaux 24:41 Le théorème spectral 30:11 Autoadjoints positifs 35:30 Isométries vectorielles 40:19 Réduction des isométries 45:29 Exercice type concours 53:22 Synthèse Filières : MP, MP*, MPI. Prérequis : réduction des endomorphismes (valeurs propres, diagonalisation), produit scalaire et bases orthonormées. #prepa #maths #algebre