Тождество Эйлера не должно иметь смысла (e^(iπ) + 1 = 0)

Тождество Эйлера, объясненное с нуля: e^(iπ) + 1 = 0, и почему e в степени iπ равно точно -1, а не приблизительно, когда мнимая степень кажется невозможной. В школе степень означает многократное умножение: 2 в кубе — это 2 × 2 × 2. Так что же значит возвести e в мнимую степень? Нельзя умножить e само на себя 1π раз. Тем не менее, e^(iπ) равно точно -1, а прибавление 1 дает 0. Мы строим его по одному числу за раз: 0, 1, π, e и i. Сначала π: начнем с 1 на окружности радиусом 1, пройдем π, и окажемся ровно посередине, в точке -1. ​​Далее, число Эйлера e. Игра на рост показывает, откуда берется 2,718: увеличиваем размер столбика на величину с каждым последующим шагом, и он приближается к e = 2,71828…, пределу. Увеличьте любое значение x таким же образом, и вы получите e в степени x, даже для x = 1/2, где принцип «умножить на x раз» уже не работает. Затем мнимые числа. Ни одно число на числовой прямой не возводится в квадрат в -1, поэтому мы добавляем одно новое число, i, где i умножить на i = -1, и каждое число получает точку на плоской плоскости. Это комплексные числа, и умножение на i поворачивает точку на четверть оборота: 1, i, -1, -i и обратно к 1. Так почему же e в степени iπ равно -1? Для таких степеней, как iπ, математики определяют e в этой степени, и игра роста — один из способов записать это определение. Мнимый рост толкает вас вбок, поэтому путь изгибается вокруг нуля. Разделите рост на все больше и больше шагов, и конечные точки сближаются с -1. Никакое конечное число шагов не попадает на эту точку, но предел равен ровно -1. Равно ли e в степени iπ равно 1? Нет. Полный оборот, e^(2πi), возвращает вас к 1. Это приводит к формуле Эйлера, e^(iθ) = cos θ + i sin θ, опубликованной в 1748 году, и тождество Эйлера — это случай с половинным оборотом. Разделы 0:00 Тождество Эйлера должно быть бессмысленным 0:40 0, 1 и π: пол-оборота до -1 1:59 Что такое e? Число Эйлера и откуда берется 2,718 4:27 Мнимые числа: умножить на i — это один оборот 6:10 Что означает e в мнимой степени? 7:35 Почему e в степени i π равно точно -1 9:28 Полные обороты и формула Эйлера Это самое красивое уравнение? Это голосование, а не факт: читатели журнала The Mathematical Intelligencer оценили красоту 24 теорем, и в результатах, опубликованных в 1990 году, теорема e^(iπ) = -1 получила наивысший балл. Источники и дополнительная литература Цифровая библиотека математических функций NIST, 4.2.19, экспоненциальная функция как бесконечная сумма - https://dlmf.nist.gov/4.2 Цифровая библиотека математических функций NIST, 4.4.17, предел (1 + z/n)^n = e^z - https://dlmf.nist.gov/4.4 Wolfram MathWorld, Экспоненциальная функция - https://mathworld.wolfram.com/Exponen... Wolfram MathWorld, Формула Эйлера - https://mathworld.wolfram.com/EulerFo... Леонард Эйлер, Introductio in analysin infinitorum, vol. 1 (1748), Архив Эйлера E101 - https://scholarlycommons.pacific.edu/... Дэвид Уэллс, «Это самые прекрасные?», The Mathematical Intelligencer 12(3), 1990, стр. 37 - https://doi.org/10.1007/BF03024015 Сыграйте в игру с вращением: начните с 1 и умножьте на i пять раз. Куда вы попадете? Расскажите нам в комментариях. Смотрите дальше: 0,999… Ровно 1, а не почти -    • Why 0.999… Is 1 (Even If You Don't Believe...   Пи НЕ 3,14 (и никогда не будет) -    • Pi Is NOT 3.14 (And Never Will Be)   Неокругленное. Математика без округления. #ТочностьЭйлера #математика #математическоеобъяснение