Zeta Explained #15: Функциональное уравнение Римана связывает ζ(s) и ζ(1-s)

Это 15-е видео из серии, посвященной объяснению дзета-функции Римана. Идея серии заключается в том, чтобы начать с основ и постепенно перейти к более сложным темам. Предполагается, что зритель понимает основы математического анализа и комплексных чисел, а я буду стараться объяснять концепции комплексного анализа по мере необходимости. Мы будем следовать книге Александра Ивича «Дзета-функция Римана: теория и приложения». В этом видео рассматриваются функциональное уравнение Римана, тривиальные нули дзета-функции и сопряженная симметрия. 00:00 - Введение (статья Римана 1859 года) 00:42 - Функциональное уравнение Римана 01:12 - Вычисление ζ(-1) = -1/12 03:57 - 1+2+3+4+... = -1/12? 05:20 - ζ(s) = 0, когда s - отрицательное четное целое число 07:29 - ζ(0) = -1/2 09:21 - Используя функциональное уравнение для комплексных чисел, симметрия относительно линии "Re(s) равно 1/2" 10:13 - Сопряженная симметрия 13:49 - Сочетание сопряженной симметрии с симметрией функционального уравнения 16:09 - Отсутствие нулей, когда "Re(s) не более 0", кроме отрицательных четных целых чисел 17:22 - Критическая линия и критическая полоса 18:26 - Нули в критической полосе имеют 2 или 4 копии (в зависимости от того, находятся ли они на линии Re(s) = 1/2) 19:16 - Краткий обзор