la fongtion aecsinus et proprietes

la fonction aecsinus et propriétés l’arc sinus d'un nombre réel compris (au sens large) entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle en radians dont le sinus vaut ce nombre, et comprise entre − π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}} et π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}. La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 la valeur de son arc sinus est notée arcsin {\displaystyle \arcsin } ( Arcsin {\displaystyle \operatorname {Arcsin} }[1] ou Asin {\displaystyle \operatorname {Asin} } en notation française, et sin − 1 {\displaystyle \sin ^{-1}}, parfois asin {\displaystyle \operatorname {asin} } ou asn {\displaystyle \operatorname {asn} } , en notation anglo-saxonne). Il s'agit alors de la bijection réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique sinus à l'intervalle [ − π 2 ; π 2 ] {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}. Elle fait partie des fonctions circulaires réciproques. On a donc par définition : { θ = arcsin ⁡ x x ∈ [ − 1 ; 1 ] ⟺ { x = sin ⁡ θ θ ∈ [ − π 2 ; π 2 ] {\displaystyle {\begin{cases}\theta =\arcsin x\\x\in [-1;1]\end{cases}}\Longleftrightarrow {\begin{cases}x=\sin \theta \\\theta \in \left[-{\dfrac {\pi }{2}};{\dfrac {\pi }{2}}\right]\end{cases}}} .Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle [ − π 2 ; π 2 ] {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]} par la réflexion d'axe la droite d'équation y = x {\displaystyle y=x}. {\displaystyle \sin(\arcsin x)=x} pour x ∈ [ − 1 ; 1 ] {\displaystyle x\in [-1;1]} ; cos ⁡ ( arcsin ⁡ x ) = 1 − x 2 {\displaystyle \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}} pour x ∈ [ − 1 ; 1 ] {\displaystyle x\in [-1;1]} ; tan ⁡ ( arcsin ⁡ x ) = x 1 − x 2 {\displaystyle \tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}} pour x ∈ ] − 1 ; 1 [ {\displaystyle x\in \left]-1;1\right[}. Par contre, arcsin ⁡ ( sin ⁡ x ) = x {\displaystyle \arcsin(\sin x)=x} seulement pour x ∈ [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle x\in \left[-{\dfrac {\pi }{2}},{\dfrac {\pi }{2}}\right]}. La formule générale est arcsin ⁡ ( sin ⁡ x ) = ( − 1 ) k ( x − k π ) {\displaystyle \arcsin(\sin x)=(-1)^{k}(x-k\pi )} où k {\displaystyle k} est la partie entière de x π + 1 2 {\displaystyle {\frac {x}{\pi }}+{\frac {1}{2}}}