fonctions hyperboliques et leurs reciproques MOHAMED AMMAR

Le premier calcul de trigonométrie hyperbolique connu est attribué à Gerardus Mercator dans sa publication sur la projection qui porte aujourd'hui son nom, vers 1566. Elle nécessite des tables de solutions d'une équation transcendante impliquant des fonctions hyperboliques[1]. Le premier à suggérer une similarité entre un secteur circulaire et un secteur hyperbolique est Isaac Newton dans son traité de 1687 Principia Mathematica[2]. Roger Cotes suggère de modifier les fonctions trigonométriques en utilisant l'unité imaginaire i = − 1 {\displaystyle \mathrm {i} ={\sqrt {-1}}} pour obtenir un ellipsoïde de révolution aplati à partir d'un ellipsoïde allongé[2]. Les fonctions hyperboliques ont été inventées par le jésuite Vincenzo Riccati en 1757[2],[1],[3] alors qu'il cherchait, avec son collègue Saladini, à calculer l'aire sous l'hyperbole d'équation x2 – y2 = 1. La méthode géométrique qu'il employa alors était très similaire à celle que l'on peut utiliser pour calculer l'aire d'un cercle d'équation x2 + y2 = 1. Le calcul de l'aire du cercle fait intervenir les fonctions trigonométriques classiques que Riccati nommait cosinus et sinus circulaires, qu'il noté Cc. et Sc. (sinus/cosinus circulare) respectivement, et par analogie, il appelle alors les fonctions qu'il venait de créer cosinus et sinus hyperboliques, notés Ch. et Sh. (sinus/cosinus hyperbolico). Ce fut un choix heureux, car cette ressemblance ne s'arrête pas à la méthode de calcul d'aire mais aussi à toutes les formules trigonométriques. Cependant, pourtant au fait du travail de son contemporain Euler, il n'utilisa pas la fonction exponentielle pour les définir mais seulement des considérations géométriques. Dès 1759, Daviet de Foncenex établit l'interchangeabilité des fonctions trigonométriques et hyperboliques en utilisant l'unité imaginaire, étendant la formule de Moivre aux fonctions hyperbolique[3],[2]. L'autre grand mathématicien ayant étudié les fonctions hyperboliques est Jean-Henri Lambert, qui en fit une étude complète en 1770[2],[3] Cette quasi-simultanéité fait que l'on attribue parfois à Lambert la paternité des fonctions hyperboliques, bien que les écrits de Riccati soient antérieurs de quelques années, d'autant que Lambert a crédité Riccati pour la terminologie et les noms des fonctions, n'ayant modifié que les notations pour celles utilisées de nos jours[3],[4]. Définitions Les fonctions hyperboliques sont analogues aux fonctions trigonométriques ou fonctions circulaires. Ce sont les fonctions : Sinus hyperbolique Sinus hyperbolique Article détaillé : Sinus hyperbolique. Définie comme étant la partie impaire de la fonction exponentielle, c’est-à-dire par : sinh ⁡ ( x ) = e x − e − x 2 {\displaystyle \operatorname {sinh} (x)={\frac {{\rm {e}}^{x}-{\rm {e}}^{-x}}{2}}} La fonction sinh — ou sh — est une bijection de classe C∞ de ℝ sur ℝ strictement croissante, et impaire. Sa dérivée est le cosinus hyperbolique. Son application réciproque est l'argument sinus hyperbolique. Cosinus hyperbolique Cosinus hyperbolique Article détaillé : Cosinus hyperbolique.