13 OBMEP 2016 2ª Fase Nível 03 - 12ª Edição - Geometria - Questão 04 - Projeto Olímpico - OBMEP 2022

Questão 04 - OBMEP 2016 - 2ª Fase - Nível 03 - 12ª Edição - Geometria - Projeto Olímpico - OBMEP 2022 Uma figura é construída por fileiras horizontais de quadradinhos 𝟏×𝟏, dispostos lado a lado, sem sobreposição e sem espaçamento. Cada fileira, com exceção da primeira, está encostada inteiramente na fileira de baixo. A primeira fileira possui um número ímpar de quadradinhos e cada uma das demais possui dois quadradinhos a menos do que a fileira imediatamente abaixo. A última fileira sempre contém um único quadradinho. Ao lado, vemos uma figura na qual a primeira fileira contém 𝟏𝟏 quadradinhos. A) Encontre a área e o perímetro de uma figura com 𝟏𝟑 quadradinhos na primeira fileira. B) Mostre que, independentemente do número de quadradinhos da primeira fileira, o número total de quadradinhos de uma figura é o quadrado de um número natural. C) Mostre que, independentemente do número de quadradinhos da primeira fileira, a área 𝑨 e o perímetro 𝒑 da figura satisfazem a igualdade 〖(𝒑 + 𝟐)〗^𝟐=𝟑𝟔𝑨.