f(x+y) = f(x) + f(y) : exercice corrigé — Analyse réelle MSP 1 | Partie 1

Correction détaillée de l'Exercice 1 du TD d'Analyse réelle 1 (MSP 1). L'énoncé : Soit f : R → R une fonction croissante telle que, pour tous x, y réels, f(x + y) = f(x) + f(y). Montrer que : a) pour tout n dans N, f(n) = n f(1) b) pour tout n dans Z, f(n) = n f(1) c) pour tout r dans Q, f(r) = r f(1) d) pour tout x dans R, f(x) = x f(1) Indication pour d) : utiliser la densité de Q dans R. Dans cette partie 1 : les questions a) et b) traitées en entier, et le début de la question c). On part de f(0), on fait la récurrence sur N, on passe aux entiers négatifs, puis on attaque les rationnels. Le point que beaucoup ratent : l'hypothèse « f croissante » ne sert à rien en a), b) et c). Elle n'intervient qu'en d) — et sans elle, le résultat d) est faux. On explique pourquoi dans la dernière partie. Tu as essayé cet exercice ? Envoie-moi ta copie, même incomplète, même fausse — je te réponds personnellement. C'est en voyant où tu bloques qu'on sait quoi expliquer ensuite. NeXT School — des corrections de TD, des fiches et des anciens sujets pour le cycle préparatoire de Polytechnique Yaoundé. Gratuit, et ça le restera. Chaîne WhatsApp : https://whatsapp.com/channel/0029VbDT... #MSP1 #AnalyseReelle #Polytechnique #Yaounde #EquationFonctionnelle #Cauchy