Densité de Q dans R : f(x) = x·f(1) — Analyse réelle MSP 1 | Partie 2

Fin de la correction de l'Exercice 1 du TD d'Analyse réelle 1 (MSP 1). Partie 1 (questions a et b, début de c) :    • f(x+y) = f(x) + f(y) : exercice corrigé — ...   L'énoncé : Soit f : R → R une fonction croissante telle que, pour tous x, y réels, f(x + y) = f(x) + f(y). Montrer que : a) pour tout n dans N, f(n) = n f(1) b) pour tout n dans Z, f(n) = n f(1) c) pour tout r dans Q, f(r) = r f(1) d) pour tout x dans R, f(x) = x f(1) Indication pour d) : utiliser la densité de Q dans R. Dans cette partie 2 : on termine la question c) sur les rationnels, puis on traite la question d) en passant de Q à R par densité. C'est ici que l'hypothèse « f croissante » entre enfin en jeu — et c'est tout l'intérêt de l'exercice. Elle n'a servi à rien dans a), b) et c). Sans elle, le résultat d) est faux : il existe des fonctions qui vérifient f(x+y) = f(x) + f(y) sans être de la forme x f(1). On explique dans la vidéo pourquoi la croissance les élimine. L'erreur classique sur cette question : croire qu'on peut conclure par continuité. On n'a jamais supposé f continue. Tout repose sur la croissance, et seulement sur elle. Tu as essayé cet exercice ? Envoie-moi ta copie, même incomplète, même fausse — je te réponds personnellement. C'est en voyant où tu bloques qu'on sait quoi expliquer ensuite. NeXT School — des corrections de TD, des fiches et des anciens sujets pour le cycle préparatoire de Polytechnique Yaoundé. Gratuit, et ça le restera. Chaîne WhatsApp : https://whatsapp.com/channel/0029VbDT... #MSP1 #AnalyseReelle #Densite #Polytechnique #Yaounde #Cauchy