πの無理数度は2：数学パズルと73年の難問がつながるまで

2002年に出たパズルの本に、高校生でも書ける級数 1/(n³ sin² n) を限りなく足すと、ある値にまとまる（収束する）か、という問題が載っていました。2026年10月、OpenAI が公開した AI の数学の結果の中に「π の無理数度は 2」という証明があり、この問題にも答えが出ました。級数が収束するかどうかが、なぜ π の無理数度で決まるのか、無理数度とは何かを、高校の数学から順に見ていきます。 【目次】 0:00 イントロ 1:36 Flint Hills 級数は、なぜ難しかったのか 6:17 πの無理数度とは何か、2とはどういうことか 13:57 Flint Hills 級数の収束は、なぜπの無理数度で決まるのか 18:51 πの無理数度が2だと、どうやってわかったのか 27:32 まとめ 【参考文献・資料】 Clifford A. Pickover の本『The Mathematics of Oz』（2002）の Flint Hills 級数を問う、MathOverflow の質問（2010） https://mathoverflow.net/questions/24579 M. A. Alekseyev: On convergence of the Flint Hills series（arXiv:1104.5100、2011）— 収束するなら π の無理数度は 5/2 以下 https://arxiv.org/abs/1104.5100 A. Meiburg: Bounds on Irrationality Measures and the Flint-Hills Series（arXiv:2208.13356、2022）— π の無理数度が 5/2 より小さければ収束する https://arxiv.org/abs/2208.13356 W. Zudilin: An essay on irrationality measures of π and other logarithms（arXiv:math/0404523）— 上限の歴史 https://arxiv.org/abs/math/0404523 D. Zeilberger, W. Zudilin: The irrationality measure of π is at most 7.103205334137…（arXiv:1912.06345、2020） https://arxiv.org/abs/1912.06345 Bai（arXiv:2609.11276、2026年9月、査読前）— 上限 7.1019 https://arxiv.org/abs/2609.11276 OpenAI: 数学の研究成果の公開（GitHub、2026年10月）— The irrationality exponent of π is 2（原稿と Lean の形式化） https://github.com/openai/math 画像：オイラー Jakob Emanuel Handmann（1753）、Kunstmuseum Basel / Public domain https://commons.wikimedia.org/wiki/Fi... 画像：ディオファントス 作者不明 / Public domain https://commons.wikimedia.org/wiki/Fi... 画像：ディリクレ G. Lejeune Dirichlet's Werke（1889）の肖像、BEIC / Public domain https://commons.wikimedia.org/wiki/Fi... 画像：リウヴィル Marie Liouville（1868）/ Public domain https://commons.wikimedia.org/wiki/Fi... 画像：ネイピア 作者不明（1616）、Scottish National Gallery / Public domain https://commons.wikimedia.org/wiki/Fi... 画像：テイラー Hans Hysing の工房（1720ごろ）、Royal Society / Public domain https://commons.wikimedia.org/wiki/Fi... 画像：ツァイルバーガー Doron Zeilberger / Public domain https://commons.wikimedia.org/wiki/Fi... 画像：ズディリン Renate Schmid / MFO（Oberwolfach Photo Collection）, CC BY-SA 2.0 de https://commons.wikimedia.org/wiki/Fi... 画像：マーラー Konrad Jacobs / MFO（Oberwolfach Photo Collection）, CC BY-SA 2.0 de https://commons.wikimedia.org/wiki/Fi... 画像：リンデマン 作者不明 / Public domain https://commons.wikimedia.org/wiki/Fi... 画像：ガウス Christian Albrecht Jensen（1840）/ Public domain https://commons.wikimedia.org/wiki/Fi... 画像：バーゼル kuhnmi, CC BY 2.0 https://commons.wikimedia.org/wiki/Fi... 画像：ディオファントス 算術 1621年版の扉 Diophantus『Arithmetica』バシェ訳 1621年版の扉 / Public domain https://commons.wikimedia.org/wiki/Fi... この動画は、編集の補助にAIを使用しています。ただし内容の責任は、木村すらいむにあります。 【Twitter】   / kimu3_slime