A armadilha lógica de elevar raiz de 2 a raiz de 2

Um número irracional elevado a outro número irracional pode dar um resultado racional? Em outras palavras: existem dois números positivos e irracionais, a e b, de modo que a elevado a b seja racional? Começamos lembrando o que separa os dois tipos de números. Racionais podem ser escritos como fração de inteiros, e suas casas decimais acabam ou repetem um padrão. Irracionais não cabem em nenhuma fração, como a raiz quadrada de 2. Raiz de 2 ao quadrado dá 2, mas esse atalho não vale, porque o expoente 2 é um número inteiro. Então testamos o candidato natural: raiz de 2 elevado a raiz de 2, um número que chamamos de u. A calculadora mostra só as primeiras casas e não consegue dizer se u é racional ou irracional. A saída é olhar para os dois únicos caminhos. Se u for racional, o par raiz de 2 e raiz de 2 já responde à pergunta. Se u for irracional, usamos u na base e raiz de 2 no expoente. Com a regra de potência de potência, a conta dá 2, que é racional. Nos dois casos a resposta é sim, e a prova nem precisa descobrir qual deles é o verdadeiro. Hoje, pelo teorema de Gelfond-Schneider, sabemos que u é irracional, mas o argumento funciona sem esse resultado difícil. #matematica #logica #curiosidades MZBEEABDBF