【灘高数学】見落としやすい符号ミスに注意しながら解く実戦例

灘高入試 2021年度 大問3 ■ 問題 ab^2 + (3a + 4) b + 2a + 6 = 0 ・・・① p = 2ab + 3a + 4 とする。 (1) p^2 を a のみを用いて表せ。 (2) a, b は 0 でない整数とする。①を満たす a, b を求めよ。 ■ ポイント（解法の方針） ・p は b を含む線形式なので、p^2 を展開して b^2, b の項を出し、与式（①）を使って b^2 を消去すると b 項がすべて消える設計になっている。 ・結果的に p^2 は a の多項式のみになり、p^2 − a^2 = 16 という簡潔な関係が得られる。 ・(2) は p^2 − a^2 = 16 を利用して (p−a)(p+a)=16 と因数分解し、整数解を列挙してから b をもとめる。 ■ 途中式 (1) p = 2ab + 3a + 4 = a(2b + 3) + 4 p^2 = [a(2b+3) + 4]^2 = a^2(2b+3)^2 + 8a(2b+3) + 16 = a^2(4b^2 + 12b + 9) + 16ab + 24a + 16 = 4a^2 b^2 + 12 a^2 b + 9 a^2 + 16 a b + 24 a + 16 与式①より ab^2 = −(3a+4)b − 2a − 6 よって 4a^2 b^2 = 4a (ab^2) = 4a [−(3a+4)b − 2a − 6] = −4a(3a+4)b − 8 a^2 − 24 a これを p^2 の式に代入すると b 項は打ち消し合い、残るのは定数項のみ： p^2 = (−4a(3a+4)b − 8 a^2 − 24 a) + 12 a^2 b + 9 a^2 + 16 a b + 24 a + 16 b 項の係数： −4a(3a+4) + 12 a^2 + 16 a = 0 → b 項は消える 定数項： −8 a^2 − 24 a + 9 a^2 + 24 a + 16 = a^2 + 16 したがって p^2 = a^2 + 16 (2) p^2 − a^2 = 16 (p − a)(p + a) = 16 因数 16 を同符号・同符 parity の因数分解で調べる（p, a は整数なので p−a と p+a は同じ偶奇）： 16 の因数対（u, v）で u = p−a, v = p+a を満たすものを列挙する。 有効な同偶因数対は (2, 8), (8, 2), (4,4), (−2, −8), (−8, −2), (−4, −4) 各対から p = (u+v)/2, a = (v−u)/2 を求めると (2,8) → p = 5, a = 3 (8,2) → p = 5, a = −3 (4,4) → p = 4, a = 0（a ≠ 0 なので除外） (−2, −8) → p = −5, a = −3 (−8, −2) → p = −5, a = 3 (−4, −4) → p = −4, a = 0（除外） よって a の候補は a = 3 または a = −3（ただし a = 0 は除外）。 次に各 a について元の式で b を求める（整数かどうかを確認）。 a = 3 のとき： 3 b^2 + (9 + 4) b + (6 + 6) = 0 3 b^2 + 13 b + 12 = 0 判別式 Δ = 13^2 − 4×3×12 = 169 − 144 = 25 b = [−13 ± 5] / (2×3) = −18/6 = −3 または −8/6 = −4/3 整数解は b = −3（b ≠ 0 の条件を満たす） このとき p = 2ab + 3a + 4 = 2·3·(−3) + 9 + 4 = −18 + 13 = −5（p = ±5 のうち負の方を取る） a = −3 のとき： (−3) b^2 + (−9 + 4) b + (−6 + 6) = 0 −3 b^2 − 5 b + 0 = 0 3 b^2 + 5 b = 0 b(3b + 5) = 0 b = 0 または b = −5/3 b = 0 は「0でない整数」条件に反する。b = −5/3 は整数でない。 したがって a = −3 では適当な非零整数 b が存在しない。 以上から、条件を満たす (a, b) はただ一組： a = 3, b = −3 ■ 答え (1) p^2 = a^2 + 16 (2) a, b は 0 でない整数 → 唯一の解は a = 3, b = −3 ■ 考え方メモ ・p^2 を直接展開してから与式で ab^2 を消すと、b 項がきれいに消える仕掛けになっている（入試的な「消去の妙」）。 ・(p−a)(p+a)=16 とすると因数分解で候補がすばやく絞れる。ただし a = 0 のケースは問題で除外する。 ・b を求める際は判別式を確認し、整数解のみを採用すること。 ・符号や分数の扱いを丁寧にすれば、ミスは出にくい良問。 🔗 関連動画・おすすめリンク 【中学受験 算数の計算問題解説シリーズ】 ▶    • 灘中入試問題 2005年度1日目｜素因数分解で分数の計算問題   【中学受験 整数の性質の練習問題】 ▶    • 【魔方陣の攻略法】真ん中の数の見つけ方！公務員試験＆中学受験の数的処理対策｜算数過去...   【開成中学入試問題・過去問解説シリーズ】 ▶    • 【開成中学の算数】単位分数の和と整数問題を徹底解説！2010年度過去問に挑戦｜中学受験算数   【灘中学入試問題・過去問解説シリーズ】 ▶    • 灘中入試問題 2005年度1日目｜素因数分解で分数の計算問題   📢 視聴者へのお願い この動画が役に立ったと思ったら、ぜひ「いいね」や「コメント」で教えてください！ 「こんな問題も解説してほしい！」というリクエストも大歓迎です。 📌 このチャンネルについて 当チャンネルでは、算数・数学を楽しく学びながら、受験に必要な実力を着実に伸ばす方法をお届けします。 「考える力を鍛えたい」「苦手を克服したい」皆さんを全力で応援しています！ 📩 お仕事依頼・お問い合わせ 取材・お仕事のご相談はこちらまで： 📧 nadatodai55+work@gmail.com #中学受験 #受験算数 #数学