Selectividad Murcia - Julio 2021 - Matemáticas II - Bloque de álgebra - Sistemas de ecuaciones.

Resolución de la cuestión 1. Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a: x +ay - z = 0 2x +y +az = 0 x +5y -az = a + 1 a) [0,75 p.] Determine para qué valores de a el sistema tiene solución única. b) [1 p.] Determine para qué valor de a el sistema tiene infinitas soluciones y re- suélvalo en ese caso. c) [0,75 p.] Determine para qué valor de a el sistema no tiene solución. Solución: Lo primero que vamos a trabajar es con la matriz ampliada (A|B). Vamos a calcular el valor del |A| e igualar a cero para discutir las posibles soluciones. Tenemos |A| = -a + a² - 10 + 1 -5a + 2a² = 0. Entonces resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos a = -1 y a = 3. a) Entonces: Si a es distinto de -1 y a es distinto de 3, el determinate de A es distinto de cero, lo que equivale a decir que el rango de A es 3 = rango de (A|B) = número de incognitas, por el teorema de Rouché-Fröbenius, tenemos que el sistema es compatible determinado (S.C.D.), es decir, que tiene solución única. Ahora vamos a estudiar los dos casos puntuales. b) Caso a = -1. Sustituimos los valores del parámetro por a = -1, y obtenemos que el rango de A = 2, y el rango de (A|B) = 2, pero el número de incognitas es 3, entonces estamos un sistema compatible indeterminado (S.C.I.), por el teorema de Rouché-Fröbenius, tenemos que tiene infinitas soluciones dependientes de un parámetro, por ejemplo λ. Llamamos x = λ, con λ ∈ R, y hallamos el valor de las otras incógnitas (y, z). En nuestro caso vamos a tener que x = λ, y = -1/2λ, z = 3/2λ, con λ ∈ R, es decir, (λ, -1/2λ, 3/2λ). c) Caso a = 3. Sustituimos los valores del parámetro por a = 3, y obtenemos que el rango de A = 2, pero el rango de (A|B) = 3 = número de incognitas, por el teorema de Rouché-Fröbenius, tenemos que el sistema es incompatible (S.I.), no tiene solución. Y ya tendríamos todos los casos discutidos. Enunciados exámenes de selectividad de la Región de Murcia: https://examenesacceso.um.es/examenes...