Selectividad Murcia - Junio 2021 - Matemáticas II - Geometría - Posición relativa y ecuación plano.

Resolución de la cuestión 5. Considere los planos π_1: x - y + z = 0 y π_2: x + y - z = 2. a) Compruebe que los planos se cortan y calcule la ecuación de la recta r determinada por la intersección de ambos planos. b) Compruebe que el punto A (3, 2, 1) no está en π_1 ni en π_2 y calcule la ecuación del plano π_3 que contiene a r y pasa por el punto A. Solución: a) La posición relativa de dos planos puede ser secantes paralelos o coincidentes. Se puede calcular de varias formas, estudiando el rango de los dos planos, o bien, estudiando los vectores normales del plano y comprobar si son proporcionales. En nuestro caso los vectores normales son: n(π_1) = (1, -1, 1) y n(π_2) = (1, 1, -1), y vemos que no son proporcionales, por lo que se deduce que los planos π_1 y π_2 se cortan. La ecuación r que determina la intersección de ambos planos, podemos escribirla en forma implícita: r: {π_1: x - y + z = 0 y π_2: x + y - z = 2} Otra forma, es escribir la ecuación paramétrica de la recta, que saldría: r: {x = 1, y = 1 + λ, z = λ, con λ∈R} b) Compruebe que el punto A (3, 2, 1) no está en π_1 ni en π_2 π_1: x - y + z = 0 ⇒ 3 - 2 + 1 = 2 distinto de 0, por lo que A no pertenece al plano π_1. π_2: x + y - z = 2 ⇒ 3 + 2 - 1 = 4 distinto de 2, por lo que A no pertenece al plano π_2. Para calcular un plano se necesita un punto y dos vectores directores. Tomamos un punto de la recta r, con λ = 0, obtenemos el punto P (1, 1, 0) El vector director de la recta r, vr: (0, 1, 1) Y el vector formado por los puntos: PA = A - P = (3, 2, 1) - (1, 1, 0) = (2, 1, 1). Y resolviendo un determinante aplicando la regla de Cramer obtenemos el plano π_3: 2y - 2z - 2 = 0 Simplificando tenemos que el plano buscado es π_3: y - z - 1 = 0. Enunciados exámenes de selectividad de la Región de Murcia: https://examenesacceso.um.es/examenes...