Подсчитайте точки, получите точную площадь. А затем посмотрите, как это ломается в 3D.

Нарисуйте любой многоугольник — сколь угодно неровный — так, чтобы его вершины находились на узлах сетки. А теперь забудьте уроки геометрии: просто посчитайте точки внутри него, посчитайте точки на его границе и вычислите I + B/2 − 1. Это число и есть точная площадь. Не оценка — а точное значение, каждый раз. Это теорема Пика, открытая в Праге в 1899 году Георгом Пиком, математиком, которого сегодня помнят по двум вещам: этой жемчужине формул и тому, что он познакомил Эйнштейна с математикой, лежащей в основе общей теории относительности. Мы проверяем формулу на простых и сложных многоугольниках, выясняем, почему площадь каждого «пустого» треугольника равна ровно половине, находим скрытую теорию чисел на каждом ребре, а затем разрушаем мечту: в трёх измерениях такой формулы не существует — и один растягивающийся тетраэдр доказывает это.