Линейная алгебра без воды | 5.4: Фундаментальная теорема о линейных отображениях и линейных системах

Полный курс — бесплатные упражнения, краткие конспекты и обратная связь от ИИ: https://ludium.ai/courses/linear-alge... Для любого линейного отображения на конечномерном пространстве размерность области определения равна размерности нулевого пространства плюс размерность области значений. В этом видео доказывается эта фундаментальная теорема о линейных отображениях путем расширения базиса нулевого пространства до базиса всего пространства. Из этого одного уравнения следуют четкие пределы: ни одно линейное отображение в меньшее пространство не является инъективным, ни одно линейное отображение в большее пространство не является сюръективным, и поэтому однородная система с большим количеством переменных, чем уравнений, всегда имеет ненулевое решение. Основные понятия, рассмотренные в видео: Фундаментальная теорема: dim V = dim null T + dim range T Доказательство путем расширения базиса null T до базиса V Проверка крайних случаев: отображение нуля и инъективное отображение Отсутствие инъективного линейного отображения в пространство меньшей размерности Отсутствие сюръективного линейного отображения в пространство большей размерности Запись системы линейных уравнений в виде линейного отображения из Fⁿ в Fᵐ Больше переменных, чем уравнений: однородная система имеет ненулевые решения Больше уравнений, чем переменных: некоторый выбор констант не дает решения ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ИСТОЧНИКИ МАТЕРИАЛОВ Источники для этого видео взяты с сайта https://linear.axler.net/ Атрибуция: Адаптировано (озвучено и анимировано) из книги «Линейная алгебра правильно», 4-е издание, Шелдона Акслера (Springer, открытый доступ; https://linear.axler.net/), лицензия CC BY-NC 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/.... Внесены изменения. Лицензия: Данное видео лицензировано Ludium по лицензии CC BY-NC-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/....