Почему скорости определяют касательные векторы и пространства?

Что значит двигаться в определённом направлении, когда само пространство искривлено? В евклидовом пространстве каждый вектор (v ∈ R^n) определяет прямолинейное движение [ γ(t) = p + tv. ] Однако на многообразии эта кривая может немедленно покинуть пространство. Поэтому возможные движения первого порядка зависят от точки (p). Эти движения образуют новое векторное пространство, связанное с этой точкой: касательное пространство (T_pM). В этом видео мы тщательно изучим касательные векторы и касательные пространства, исходя из основных принципов. Мы начнём с переформулирования производных по направлению в евклидовом пространстве с использованием кривых и их скоростей. Это даёт интуитивное понимание, необходимое для определения касательных векторов на многообразии без опоры на выражение типа (p + h), которое может быть бессмысленным. Затем мы рассмотрим: • касательные векторы как скорости гладких кривых, проходящих через точку; • Почему разные кривые могут представлять один и тот же касательный вектор; • Касательные векторы как классы эквивалентности кривых; • Касательные пространства окружности и сферы; • Различие между касательным векторным пространством и аффинной касательной линией или плоскостью, проведенной в точке; • Почему сфера удовлетворяет условию [ T_pS^2={v\in\mathbb{R}^3:p\cdot v=0}; ] • Как локальная параметризация отождествляет (T_pM) с образом его производной; • Почему (T_pM) действительно является векторным пространством; и • Почему (n)-мерное многообразие имеет (n)-мерное касательное пространство в каждой точке. Центральная идея проста: Касательный вектор — это не крошечное конечное перемещение. Он представляет собой возможное движение первого порядка через точку на многообразии. Это первое из двух видео о касательных пространствах. В следующем видео рассматриваются координатные кривые, координатные базисные векторы и представление касательных векторов в локальных координатах. Часть серии: Строгое введение в дифференциальную геометрию #ДифференциальнаяГеометрия #КасательноеПространство #КасательныеВекторы #Многообразия #Геометрия #Математика #МатематическийАнализ #ЛинейнаяАлгебра #ГладкиеМногообразия #МатематическоеОбразование #Многообразия