Sommes télescopiques : 2 exercices corrigés – Décomposition en éléments simples | Licence 1 / Prépa

lien site https://puissance-maths.fr/postbac-1e... 🎓 *LICENCE 1 / PRÉPA – ANALYSE : SOMMES TÉLESCOPIQUES* Dans cette vidéo, nous poursuivons notre chapitre consacré au **calcul de sommes**, avec deux exercices progressifs sur les sommes télescopiques. Nous allons apprendre à transformer des fractions rationnelles en différences de fractions simples pour faire apparaître des simplifications successives. L'objectif est de maîtriser une méthode classique et particulièrement efficace en Licence 1 et en classes préparatoires scientifiques. 📌 *LES 2 EXERCICES* 🔴 *Exercice 1 – Première somme télescopique* Calculer, pour n ≥ 1 : Σ(k = 1 à n) 1/[k(k + 1)] Objectif : décomposer une fraction en une différence de deux fractions simples. Nous verrons comment les termes intermédiaires se simplifient pour obtenir directement une expression de la somme en fonction de n. 🔵 *Exercice 2 – Un télescopage un peu plus difficile* Calculer : Σ(k = 1 à n) 1/[k(k + 2)] Objectif : utiliser une décomposition en éléments simples lorsque les indices sont décalés de deux unités. Cette situation demande davantage d'attention, car les simplifications ne concernent plus directement deux termes consécutifs. 🔍 *NOTIONS ABORDÉES* ✅ Comprendre le principe du télescopage. ✅ Décomposer une fraction rationnelle en éléments simples. ✅ Transformer une somme de fractions en une somme de différences. ✅ Identifier les termes qui se simplifient. ✅ Manipuler correctement les indices de sommation. ✅ Faire attention aux premiers et aux derniers termes. ✅ Obtenir une expression simplifiée en fonction de n. ✅ Rédiger rigoureusement un calcul de somme. 💡 *CE QU'IL FAUT RETENIR* La méthode consiste à rechercher une décomposition de la forme : 1/[k(k + 1)] = 1/k − 1/(k + 1) ou encore : 1/[k(k + 2)] = (1/2)[1/k − 1/(k + 2)] Ces identités permettent de transformer des sommes apparemment compliquées en sommes télescopiques. Il suffit ensuite de repérer les termes qui s'annulent et de conserver ceux qui restent. 🎯 *OBJECTIF DE LA VIDÉO* Apprendre à reconnaître une structure télescopique dans une somme de fractions et maîtriser les décompositions algébriques nécessaires pour simplifier les calculs. 📚 *NIVEAU :* Licence 1 – Classes préparatoires scientifiques (MPSI, PCSI, PTSI, MP2I). 📖 *CHAPITRE :* Analyse – Calcul de sommes et télescopage. 👍 Si cette vidéo vous aide à progresser, pensez à laisser un pouce bleu, à vous abonner et à la partager ! 🔔 *MATHS EN LICENCE ET PRÉPA AVEC ENSEMBLE* Des cours, des méthodes et des exercices corrigés pour progresser en mathématiques dans l'enseignement supérieur. *Ensemble, on fait des maths !* #SommesTelescopiques #Telescopage #CalculDeSommes #DecompositionEnElementsSimples #NotationSigma #Analyse #Licence1 #PrepaMaths #CPGE #MPSI #PCSI #Mathematiques #ExercicesCorriges