짝수와 자연수, 어느 쪽이 더 많을까? 칸토어가 무한을 센 방법 | 공통수학2 · 김성민 수학

자연수와 짝수, 어느 쪽이 더 많을까요? 1638년 갈릴레오는 자연수와 제곱수를 짝 지어 보고 무한에는 '같다·많다·적다'를 쓸 수 없다고 했습니다. 칸토어(1845-1918)는 반대로, 남김없이 짝 지을 수 있으면 크기가 같다고 정했습니다. 자연수 n과 짝수 2n은 하나씩 짝이 맞습니다. 정수도 0, 1, -1, 2, -2, … 순서로 자연수와 짝이 맞습니다. 유리수는 수직선에 빽빽하지만, 분자·분모 표를 대각선마다 지그재그로 훑으면(이미 나온 값은 건너뜀) 모두 번호를 받습니다. 칸토어는 1873년에 유리수가 셀 수 있는 무한임을 보였습니다. 실수가 셀 수 없다는 것은 1874년에 처음 증명됐고, 1891년의 대각선 논법은 이렇게 보입니다: 0과 1 사이의 수를 모두 한 줄로 세웠다고 가정하고, n번째 수의 n번째 자리가 5가 아니면 5, 5이면 4로 적은 새 수를 만들면 그 수는 목록에 없습니다(귀류법). 셀 수 있는 것 둘을 합쳐도 셀 수 있으므로, 무리수는 셀 수 없이 많습니다. 1901년 트리니티 칼리지 출신 러셀은 칸토어의 증명을 따라가다 집합의 역설을 발견했습니다. 챕터 0:00 짝수와 자연수, 어느 쪽이 많을까 0:33 세지 않고 개수를 비교하는 법 1:06 갈릴레오가 내려놓은 문제 1:41 칸토어: 짝이 맞으면 같은 크기 2:38 빽빽한 유리수도 한 줄로 선다 4:04 셀 수 없는 무한: 대각선 논법 5:44 시험에서 만나는 곳, 그리고 러셀 2022 개정 공통수학2 · 일대일대응 함께 보는 단원: 공통수학2 명제(귀류법), 확률과 통계 중복조합(대응으로 세기) 출처: MacTutor History of Mathematics(Cantor, Russell), Wikipedia(Galileo's paradox, Cantor's diagonal argument, Russell's paradox) 김성민 수학 · MATHSKIM 수학 공부 이야기: https://mathskim.com 자체 제작 애니메이션이며, 김성민 본인의 허가된 AI 복제 음성을 사용했습니다.