【なぜ2乗なら、答えがいくらでも作れるのか】高校数学でわかる フェルマーの最終定理

n が 3 以上なら、xⁿ + yⁿ = zⁿ をみたす正の整数 x, y, z はない。 フェルマーが本の余白に書き込んでから、証明されるまでに 350 年以上かかった「フェルマーの最終定理」を、高校数学で追いかけます。 2乗なら答えはいくらでもあります。 円 X² + Y² = 1 の上の「座標が両方とも分数の点」を、傾き t の直線で全部作れることを計算で見ます。 4乗に答えがないことは、ピタゴラス数の式を2回使う「無限降下法」で、高校数学だけで最後まで証明します。 後半は、証明のかぎになった「楕円曲線」を、7 で割った余りの世界で手で数えます。 y² + y = x³ − x² をみたす組は 9 組で、7 − 9 = −2。 ほかの素数でも同じ引き算をすると、無限積 q(1−q)²(1−q²)²(1−q³)²… × (1−q¹¹)²(1−q²²)²…（式で書くと q∏(1−qⁿ)²(1−q¹¹ⁿ)²）のかっこを開いた係数と、109 までのすべての素数で一致します。 この一致（モジュラー性）から先、谷山＝志村予想、フライの曲線、リベットの定理、ワイルズの証明は大学の数学です。 ・点の数は、0 から p−1 までの組 (x, y) の個数 N で数えています（無限遠点は数えません）。教科書の p + 1 − #E は同じ値になります。 ・フェルマーが書き込んだ年ははっきりしません（1630年代。1637年ごろとよく言われます）。 ・フライの曲線を正確に作るには、a, b, c の符号と偶奇をそろえておく必要があります。フライ・リベット・ワイルズの道は 5 以上の素数のためのものです（3乗はオイラー、4乗はフェルマー）。 ・オイラーの3乗の証明（1770年）には穴がありましたが、のちに埋められました。 ・6 = 2 × 3 = (1+√5 i)(1−√5 i) は分かりやすい別の例です。ラメが使った数（1の p 乗根を使った数）でも、分け方が1通りにならないことがあります。 ・谷山＝志村予想は、ヴェイユの仕事も加わり、谷山＝志村＝ヴェイユ予想とも呼ばれます。予想も 2001 年の定理も、有理数を係数とする楕円曲線についてのものです。 ・証明のかぎは、動画で数えた y² + y = x³ − x² そのものではなく、フライの曲線のような楕円曲線でも、こういう一致（モジュラー性）が成り立つかどうか、でした。 ・楕円曲線の条件は、正確には「とがった所・交わる所・離れた1点がない」（特異点がない）ことです。y² = x³ − x² は、原点が離れた1点になるので楕円曲線ではありません。 【もくじ】 0:00 イントロ 0:54 問題を整理 1:36 2乗は円の上の点 3:29 4乗に答えがない証明 5:06 奇数の素数の壁 6:12 点を数える 7:37 もう1つの数の列 9:00 証明の道すじ 10:19 まとめ 【参考】 ・フェルマーの最終定理の歴史（MacTutor） https://mathshistory.st-andrews.ac.uk... ・A. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem, Annals of Mathematics 141 (1995) 443–551 https://doi.org/10.2307/2118559 ・R. Taylor, A. Wiles, Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras, Annals of Mathematics 141 (1995) 553–572 https://doi.org/10.2307/2118560 ・K. Ribet, On modular representations of Gal(Q̄/Q) arising from modular forms, Inventiones Mathematicae 100 (1990) https://math.berkeley.edu/~ribet/Arti... ・C. Breuil, B. Conrad, F. Diamond, R. Taylor, On the modularity of elliptic curves over Q, J. Amer. Math. Soc. 14 (2001) https://www.ams.org/jams/2001-14-04/S... ・楕円曲線 y² + y = x³ − x²（LMFDB 11.a3） https://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q... 【クレジット】 VOICEVOX：ずんだもん、四国めたん 立ち絵：坂本アヒル 様