【気持ちいいのは！？】留数定理の気持ちよさの出どころ 高校生でもわかる【コーシーの積分定理】

∫ dx/(1+x²) を −∞ から ∞ まで計算すると、ちょうど π になります。 留数定理を使うと、i のまわりを1周するだけで、この答えが1行で出ます。 ネットでは「留数定理、気持ちよすぎ」と言われることもあります。 でも、本当に気持ちいいのは、その裏で働いている「コーシーの積分定理」ではないか。 この動画では、それを高校数学の複素数から順に確かめます。 ・複素数のかけ算は、回転と拡大（数学C の複素数平面・ド・モアブルの定理） ・道に沿った積分は、小さな矢印をつないでいく足し算（区分求積と同じ考え方） ・円を12等分して ∮ zⁿ dz を手で計算し、n = −1 では矢印の向きがそろうことを見る。等分を細かくした行き着く先で残るのは n = −1 の 2πi だけ（等比数列の和と、数学III の積分の2通り） ・コーシーの積分定理：穴のない所なら、両はしを止めたまま道をどう動かしても、積分の値は変わらない ・留数定理：道を穴ごとの小さな円に縮めると、2πi × 留数の和になる ・−∞ から ∞ までの ∫ dx/(1+x²) = π と ∫ dx/(1+x⁴) = π/√2（約 2.2214）を実際に解く 留数定理は「コーシーの積分定理（道を縮めてよい）」と「1行の計算（−1 乗だけが 2πi を残す）」でできています。 決め技として名前が付くのは留数定理ですが、どんな道でも小さな円に縮めてよいと言い切れるのは、コーシーの積分定理のおかげです。 【もくじ】 0:00 イントロ 0:59 複素数のかけ算 1:40 道に沿った積分 2:28 円を1周する積分 4:25 コーシーの積分定理 6:55 穴のまわり 7:28 留数定理 8:37 実数の積分を解く 10:09 まとめ 【補足】 ・コーシーの積分定理の証明（小さなマスに分ける方法）で、「ほとんど 0」の誤差が本当に 0 になることは省きました。導関数の連続性を仮定しない証明は、1900年のグルサの論文が有名です。 ・留数定理の条件：閉じた道の上と内側で、内側にある有限個の穴を除いて関数が正則であること（道の上に穴があってはいけません）。道は内側を左に見て1周する向き（反時計回り）です。逆向きなら符号が逆になります。 ・留数を「(z−a) をかけて z を a に近づける」で求められるのは、分母が (z−a) の1乗の穴（1位の極）のときです。 ・実数の積分を求めるときは、留数定理とは別に、大きな半円の部分が 0 に近づくことを確かめています（長さ πR × 大きさ 1/(R²−1) 以下）。 ・1825年の論文は、コーシーが科学アカデミーで発表し、同じ年に小冊子として出版した「虚数の範囲の定積分についての論文」です。この論文では「両はしを決めた積分は、道によらない」という形で述べています。閉じた道の積分が 0 という形で書かれるのは、もっと後の論文です。 ・円を12等分した計算では、n + 1 が 12 の倍数のとき（n = 11 など）も公比が 1 になって和が残ります。等分を細かくしていくと、残るのは n = −1 だけになります。「留数（résidu）」という言葉は、1826年の『Exercices de mathématiques』で使われました。 【参考】 しがない数学徒「留数定理きもちよすぎだろ！」（YouTube。冒頭で紹介した言葉）    • 留数定理きもちよすぎだろ！   A.-L. Cauchy「Mémoire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires」（1825年。1874年の再録） https://numdam.org/item/BSMA_1874__7_... A.-L. Cauchy『Exercices de mathématiques』1826年（全集 第2集 第6巻） https://archive.org/details/oeuvresda... E. Goursat「Sur la définition générale des fonctions analytiques, d'après Cauchy」Trans. Amer. Math. Soc. 1 (1900) https://www.ams.org/journals/tran/190... 【クレジット】 VOICEVOX：ずんだもん、四国めたん 立ち絵：坂本アヒル 様 #留数定理 #コーシーの積分定理 #複素解析 #数学 #高校数学