Плитка, которая никогда не повторяется

Шляпа — это плитка Эйнштейна: одна простая форма, покрывающая бесконечный пол без зазоров, и узор никогда не повторяется. Всё начинается с простого теста на повторяемость пола: нужно передвинуть её, не поворачивая, и убедиться, что каждая плитка попадает на другую. В 1961 году Хао Ван предположил, что любой набор плиток, покрывающих пол, может также делать это в повторяющемся узоре. Роберт Бергер доказал его неправоту в 1966 году, используя 20 426 плиток. Рафаэль Робинсон сократил это число до шести, а Роджер Пенроуз — до двух в 1974 году. Одна-единственная плитка, которая работает сама по себе, получила прозвище «Эйнштейн», что по-немецки означает «один камень». В ноябре 2022 года Дэвид Смит, любитель из Йоркшира, обнаружил эту шляпу и отправил электронное письмо Крейгу Каплану из Университета Ватерлоо. Вы наблюдаете, как шляпа строится из восьми воздушных змеев, вырезанных из сетки шестиугольников. Затем шляпы укладываются по одной, причём зеркальные — золотые. Сгруппируйте шляпы, и вы получите четыре вида блоков. Сгруппируйте их, и вы получите те же четыре вида снова, но больше, бесконечно. Эта бесконечная лестница объясняет, почему ни один слайд любой длины не может заставить пол повторяться. Заканчивается всё работой четырёх человек, доказавших это: Смита, Каплана, Джозефа Сэмюэля Майерса и Хаима Гудмана-Штрауса, опубликованной в марте 2023 года, и призраком — плиткой, которую никогда не нужно переворачивать. Плитки из шляп нарисованы с помощью модифицированной версии hatviz Крейга С. Каплана (github.com/isohedral/hatviz, лицензия BSD). Разделы: 0:00 Тест на повторяемость 1:07 Плитки Ванга, Бергера и Пенроуза 2:30 Дэвид Смит находит шляпу 2:54 Создание шляпы из воздушных змеев 3:20 Почему некоторые шляпы зеркально отражены 3:47 Кластеры внутри больших кластеров 4:56 Доказательство того, что она никогда не повторяется 6:25 Полное доказательство и призрак #математика #плиткаэйнштейна #мозаика